Sarnat swoją przygodę z piłką nożną rozpoczynał w Wawelu Kraków. Później w jego życiorysie pojawiały się takie kluby jak Świt Krzeszowice, Błękitni Kielce i Cracovia.
W 1993 roku trafił do Wisły Kraków i to był początek najlepszego okresu w jego karierze. W drużynie Białej Gwiazdy rozegrał 257 meczów. Z Wisłą był mistrzem Polski w 1999 i 2001 roku. Zdobywał z nią również Puchar Ligi, Superpuchar i Puchar Polski.
W latach 1998–2001 występował także w europejskich pucharach, m.in. w spotkaniach z Parmą, FC Porto, Barceloną i Interem Mediolan.
Grał także m.in. w tureckim Diyarbakirsporze, z którego odszedł ze względu na niewywiązanie się pracodawcy z zobowiązań finansowych.
Karierę piłkarską zakończył w Kmicie Zabierzów po rundzie jesiennej sezonu 2007/2008. 1 lipca 2011 roku został trenerem bramkarzy Garbarni Kraków.
Artur Sarnat był synem Ryszarda Sarnata, byłego piłkarza m.in. Wisły Kraków i Cracovii.